Question

已知雙曲線

x2

9

-

y2

27

=1與點M（5，3），F(xiàn)為右焦點，試在雙曲線上求一點P，使|PM|+

1

2

|PF|最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：根據題意，算出雙曲線的離心率e=2，右準線為l：x=

3

2

．作MN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結FP，根據圓錐曲線統(tǒng)一定義得到|PM|+

1

2

|PF|=|PM|+|PN|．由平幾知識可得：當M、N、P三點共線時，|PM|+|PN|=|MN|達到最小值，由此即可求出點P的坐標和|PM|+

1

2

|PF|的最小值．

解答：解：∵雙曲線方程為

x2

9

-

y2

27

=1，
∴a=3，b=3

3

，c=

a2+b2

=6
可得離心率e=

c

a

=2，

a2

c

=

3

2

，所以右準線為l：x=

3

2

作MN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結FP，則
由圓錐曲線統(tǒng)一定理各

PF

PN

=e，可得|PF|=e|PN|=2|PN|
∴|PN|=

1

2

|PF|，因此，|PM|+

1

2

|PF|=|PM|+|PN|
當且僅當M、N、P三點共線時，|PM|+|PN|=|MN|達到最小值
此時，在

x2

9

-

y2

27

=1中令y=3，得x=±2

3

∵x＞0，∴取x=2

3

即當P的坐標為（2

3

，3）時，|PM|+

1

2

|PF|的最小值為|MN|=

7

2

．

點評：本題給出雙曲線上的動點P和定點M（5，3），求|PM|+

1

2

|PF|的最小值，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、圓錐曲線的統(tǒng)一定義等知識，屬于中檔題．