Question

二次函數(shù)滿足且.

（1）求的解析式；

（2）在區(qū)間上,的圖象恒在的圖象上方,試確定實數(shù)m的范圍.

 

Answer 1

（1）f（x）=x2-x+1，（2）m<-1.

【解析】

試題分析：（1）因為已知函數(shù)的類型，故用待定系數(shù)法來求，設f（x）=ax2+bx+c，根據(jù)，建立關于的方程求解；（2）若的圖象恒在的圖象上方，即x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立，然后構造函數(shù)g（x）= x2-3x+1-m，求出的最小值，令其大于零可得關于的不等式，從而求出的范圍。

試題解析：（1）設f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1.

∵f（x+1）-f（x）=2x,∴a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x.

即2ax+a+b=2x,所以,∴f（x）=x2-x+1. 6分

（2）由題意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.

設g（x）= x2-3x+1-m,其圖象的對稱軸為直線x=,所以g（x） 在[-1,1]上遞減.

故只需g（1）>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1. 12分