Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=BC=1，則異面直線A₁B與AC所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線A₁B與AC所成角的余弦值．

解答 解：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AA₁=2，AC=BC=1，
∴A₁（1，0，2），B（0，1，0），A（1，0，0），C（0，0，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，0），
設(shè)異面直線A₁B與AC所成角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴異面直線A₁B與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．