Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD，過AB的平面分別交棱PC，PD于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（Ⅰ）求證：EF∥AB；
（Ⅱ）求證：BD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由底面ABCD為菱形，可得AB∥CD，結(jié)合AB?平面PCD，CD?平面PCD，AB∥平面PCD，又由AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，即可證明EF∥AB．
（Ⅱ）易證BD⊥AC，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接PO，由等腰三角形的性質(zhì)可得PO⊥BD，從而可得BD⊥平面PAC．

解答 （本小題12分）
解：（Ⅰ）∵底面ABCD為菱形，
∴AB∥CD，------------------（2分）
又AB?平面PCD，CD?平面PCD，------------------（3分）
∴AB∥平面PCD，------------------（4分）
又∵AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，-----------（5分）
∴EF∥AB．------------------（6分）
（Ⅱ）∵底面ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，------------------（8分）
設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接PO，
∵PB=PD，O為BD的中點(diǎn)，
∴PO⊥BD，------------------（10分）
∵AC∩PO=O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，-----------（11分）
∴BD⊥平面PAC．------------------（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了線面平行的性質(zhì)，線面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．