Question

已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn).

（I）若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；

（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：由條件知，，設(shè)，.

解法一：（I）設(shè)，則，，

，由得

即

于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即.

又因?yàn)?sub>兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得

，即.

將代入上式，化簡得.

當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程.

所以點(diǎn)的軌跡方程是.

（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是.

代入有.

則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，

于是

.

因?yàn)?sub>是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=.

當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為、，

此時(shí).

故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).

解法二：（I）同解法一的（I）有①

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是.

代入有.

則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以.②

. ③

由①、②、③得.…………………………………………………④

.……………………………………………………………………⑤

當(dāng)時(shí)，，由④、⑤得，，將其代入⑤有

.整理得.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程.

當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程.

故點(diǎn)的軌跡方程是.

（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，.

以下同解法一的（II）.