Question

已知函數(shù)f（x）=x-（x＞1）
（1）若函數(shù)在f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜2

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)在f（x）在定義域上是增函數(shù)，可知其導(dǎo)數(shù)為正在（1，+∞）上恒成立，由此不等式求解參數(shù)的范圍即可．
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜2即求解x-＜2在（1，+∞）上的解集，由此可以將不等式變?yōu)槎�次不等式求解問題，x-＜2在（1，+∞）上可變?yōu)閤²-2x-p＜0，由于此不等式中含有參數(shù)，故應(yīng)對(duì)參數(shù)范圍進(jìn)行討論，分類解不等式．
解答：解：（1）由已知函數(shù)在f（x）在定義域上是增函數(shù)
故f′（x）=1+＞0在（1，+∞）恒成立，
即 p＞-x²在（1，+∞）恒成立，
由于-x²在（1，+∞）上的最大值小于-1，故可得p≥-1
即實(shí)數(shù)p的取值范圍是[-1，+∞）
（2）由x-＜2及x＞1得x²-2x-p＜0
①當(dāng)p≤-1時(shí)，得△=4+4p≤0，此時(shí)x²-2x-p＜0無解；
②當(dāng)p＞-1時(shí)，可解得1-＜x＜1+且x＞1
所以得1＜x＜1+
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查了用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，運(yùn)用方式是利用單調(diào)性得到參數(shù)所滿足的不等式，通過解不等式的解集求參數(shù)的取值范圍，第二小題考查了轉(zhuǎn)化法求解不等式，將分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解，此轉(zhuǎn)化過程中有一易錯(cuò)點(diǎn)，分式兩邊同乘以分母時(shí)要注意判斷分母的符號(hào)，若其為正則不等號(hào)方向不改變，若其符合為負(fù)，則去分母后要改變不等式的方向，本題中分母為正，故去分母后，不等號(hào)的方向不用改變．