已知
m
=（sinωx+cosωx，
3
cosωx），
n
=（cosωx-sinωx，2sibωx），且ω＞0，設f（x）=
m
•
n
，f（x）的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離等于
π
2
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面積的最大值．
分析：（Ⅰ）利用向量數(shù)量積的坐標運算和條件列出解析式，根據倍角公式和兩角和的正弦公式進行化簡，由兩個相鄰的對稱軸之間的距離是周期的一半，求出ω的值；
（Ⅱ）根據f（A）=1和A的范圍，求出A的值，代入三角形面積公式S△ABC=
1
2
bcsinA，根據b+c=4和基本不等式求出面積的最大值，注意等號成立的條件是否取到．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos2ωx-sin2ωx+2
3
sinωxcosωx
=cos2ωx+
3
sin2ωx
=2sin（2ωx+
π
6
）（4分）
∵f（x）的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離等于
π
2
，
∴
π
2ω
=
π
2
，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2x+
π
6
）．（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=1，∴sin（2A+
π
6
）=
1
2
，
∵0＜A＜π，∴
π
6
＜2A+
π
6
＜
13π
6
，∴2A+
π
6
=
5π
6
，解得A=
π
3
．（8分）
∵b+c=4，∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤
3
4
(
b+c
2
)2=
3
（10分）
當且僅當b=c=2等號成立，故S△ABC面積最大值為
3
．（12分）
點評：本題的考點是三角函數(shù)解析式的求法以及基本不等式的應用，應先對解析式化簡再把條件代入，利用知識點有倍角公式和兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的性質，以及利用基本不等式求最值問題，注意等號成立的條件．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
m
=（sinωx+cosωx，2sinωx），
n
=（cosωx-sinωx，
3
cosωx），（ω＞0），若f（x）=
m
•
n
且f(
π
3
-x)=f(x)，f（x）在（0，
π
3
）內有最大值無最小值．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，f（A）=1，其面積S△ABC=
3
，求△ABC周長的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(ωx+?)，2)，
b
=(1，cos(ωx+?))，(ω＞0，0＜?＜
π
2
)．函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)的圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為2，且過點M(1，
7
2
)．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）已知函數(shù)y=sin(ωx+
π
3
)(ω＞0)的最小正周期為π，若將該函數(shù)的圖象向左平移m（m＞0）個單位后，所得圖象關于原點對稱，則m的最小值為
π
3
π
3
．

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