已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若,設(shè)是函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)(),記直線AB的斜率為,求證:.

 

(1)(i)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,無單減區(qū)間.

(ii)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,,

單減區(qū)間為.

(iii)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.

(2)見解析.

【解析】

試題分析:(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),注意到函數(shù)的定義域是;不等式,故只需按的正,負(fù)和零分別討論,在討論的過程中當(dāng)的情形注意再按兩根的大小討論即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)先求得,再將直線AB的斜率為表示出來得到,然后用比差法求得注意到,故欲證,只須證明:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506073410441561/SYS201502150607510425300182_DA/SYS201502150607510425300182_DA.023.png">,故即證:,

,構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)證明上是增函數(shù),從而可得,進(jìn)而得所證不等式成立.

試題解析:(1)【解析】
1分

(i)當(dāng)時(shí), 恒成立,即恒成立,

故函數(shù)的單增區(qū)間為,無單減區(qū)間. 2分

(ii)當(dāng)時(shí),,

解得:

,∴函數(shù)的單增區(qū)間為,,

單減區(qū)間為. 4分

(iii)當(dāng)時(shí),由解得:.

,而此時(shí),∴函數(shù)的單增區(qū)間為,

單減區(qū)間為. 6分

綜上所述:

(i)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,無單減區(qū)間.

(ii)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,

單減區(qū)間為.

(iii)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為. 7分

(2)證明:

由題,

則:

9分

注意到,故欲證,只須證明:. 10分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506073410441561/SYS201502150607510425300182_DA/SYS201502150607510425300182_DA.023.png">,故即證:

11分

12分

則:上單調(diào)遞增.

所以: 13分

即:,即:所以:. 14分

考點(diǎn):1.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江西省高三上學(xué)期第三次考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

若如下框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為,那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是

A. B. C. D.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江蘇省連云港高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(選修歷史)(解析版) 題型:填空題

的值是 .

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江蘇省蘇州市高三上學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為 .

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江蘇省蘇州市高三上學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

等差數(shù)列中,則該數(shù)列前十項(xiàng)的和

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆廣東省深圳市高三上學(xué)期第一次五校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知的最小正周期為.

(1)求的值;

(2)在中,角所對應(yīng)的邊分別為,若有,則求角的大小以及的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆廣東省深圳市高三上學(xué)期第一次五校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

如圖是一個(gè)算法的程序框圖,若輸出的結(jié)果是31,則判斷框中的正整數(shù)的值是___________.

 

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆廣東省深圳市高三上學(xué)期第一次五校聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

設(shè)雙曲線的離心率為2,且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,則此雙曲線的方程為__________.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆廣東省高三上學(xué)期暑假聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

在極坐標(biāo)系中,圓的圓心到直線 的距離是 .

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案