已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,設(shè),是函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)(),記直線AB的斜率為,求證:.
(1)(i)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,無單減區(qū)間.
(ii)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,,
單減區(qū)間為.
(iii)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.
(2)見解析.
【解析】
試題分析:(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),注意到函數(shù)的定義域是;不等式,故只需按的正,負(fù)和零分別討論,在討論的過程中當(dāng)的情形注意再按兩根的大小討論即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)先求得,再將直線AB的斜率為用表示出來得到,然后用比差法求得注意到,故欲證,只須證明:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506073410441561/SYS201502150607510425300182_DA/SYS201502150607510425300182_DA.023.png">,故即證:,
令,構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)證明在上是增函數(shù),從而可得,進(jìn)而得所證不等式成立.
試題解析:(1)【解析】
1分
(i)當(dāng)時(shí), 恒成立,即恒成立,
故函數(shù)的單增區(qū)間為,無單減區(qū)間. 2分
(ii)當(dāng)時(shí),,
解得:
∵,∴函數(shù)的單增區(qū)間為,,
單減區(qū)間為. 4分
(iii)當(dāng)時(shí),由解得:.
∵,而此時(shí),∴函數(shù)的單增區(qū)間為,
單減區(qū)間為. 6分
綜上所述:
(i)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,無單減區(qū)間.
(ii)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,,
單減區(qū)間為.
(iii)當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為. 7分
(2)證明:
由題,
則:
9分
注意到,故欲證,只須證明:. 10分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506073410441561/SYS201502150607510425300182_DA/SYS201502150607510425300182_DA.023.png">,故即證:
11分
令, 12分
則: 故在上單調(diào)遞增.
所以: 13分
即:,即:所以:. 14分
考點(diǎn):1.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.
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A. B. C. D.
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等差數(shù)列中,則該數(shù)列前十項(xiàng)的和 .
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(1)求的值;
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