Question

（1）數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項(xiàng)公式a_n；
（2）用分析法證明：若a＞0，則

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）,歸納推理

專題：綜合題,分析法

分析：（1）利用S_n=2n-a_n（n∈N^*），代入計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項(xiàng)公式a_n；
（2）用分析法證明，尋找使不等式

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經(jīng)顯然具備為止．

解答： （1）解  當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-a₁，∴a₁=1．
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂，∴a₂=

3

2

．
當(dāng)n=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃，∴a₃=

7

4

．
當(dāng)n=4時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄=S₄=2×4-a₄，∴a₄=

15

8

．
由此猜想a_n=

2n-1

2n-1

（n∈N^*）．
（2）證明：要證

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2，只需證

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

．
∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²，
只需證a²+

1

a2

+4+4

a2+ 1 a2

≥a²+

1

a2

+2+2

2

（a+

1

a

），
只需證

a2+ 1 a2

≥

2

2

（a+

1

a

），只需證a²+

1

a2

≥

1

2

（a²+

1

a2

+2），
即證a²+

1

a2

≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立．

點(diǎn)評：利用用分析法證明不等式的關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經(jīng)顯然具備為止，屬于中檔題．