分析 由已知得f′(x)=0有實(shí)數(shù)根在(0,$\frac{2}{3}$),由此能求出實(shí)數(shù)b的取值范圍.
解答 解:∵函數(shù)f(x)=x3-bx2+x,
∴f′(x)=3x2-2bx+1,
∵函數(shù)f(x)=x3-bx2+x在(0,$\frac{2}{3}$)內(nèi)有極值,
∴f′(x)=3x2-2bx+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,并且至少有一個根在(0,$\frac{2}{3}$).
∴△=4b2-12>0,可得:b$>\sqrt{3}$或b$<-\sqrt{3}$,3x2-2bx+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,
x1x2=$\frac{1}{3}$,可知兩個根同號,
至少有一個根在(0,$\frac{2}{3}$).說明兩個根都是正根,b$>\sqrt{3}$.
一個根在(0,$\frac{2}{3}$)內(nèi)時,
可得f′(0)•f′($\frac{2}{3}$)<0,
即:$3×\frac{4}{9}-2b×\frac{2}{3}+1<0$.解得:b$>\frac{7}{4}$.
兩個根在(0,$\frac{2}{3}$)內(nèi)時,
$\left\{\begin{array}{l}{0<\frac{3}<\frac{2}{3}}\\{3×\frac{4}{9}-2b×\frac{2}{3}+1≥0}\\{b>\sqrt{3}}\end{array}\right.$,解得b∈($\sqrt{3},\frac{7}{4}$]
綜上實(shí)數(shù)b的取值范圍是($\sqrt{3}$,+∞).
故答案為:($\sqrt{3}$,+∞).
點(diǎn)評 本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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A. | ∅?P?M | B. | M?P?I | C. | M=∅ | D. | P=I且M≠P |
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