Question

【題目】已知點(diǎn)， 為橢圓:上異于點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：直線(xiàn)、的斜率之積為-；

（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，使得？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)，并用其坐標(biāo)表示斜率，通過(guò)斜率之積,結(jié)合點(diǎn)在橢圓上,化簡(jiǎn)可得直線(xiàn)、的斜率之積為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn) 取MN的中點(diǎn)H，則，則|可轉(zhuǎn)化為,聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理建立關(guān)于斜率k的方程，求解即可.

試題解析：（I）設(shè)點(diǎn)，，則

，即

故得證．

（II）假設(shè)存在直線(xiàn)滿(mǎn)足題意．

顯然當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與橢圓不相交．

①當(dāng)直線(xiàn)的斜率時(shí)，設(shè)直線(xiàn)為：

聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：

由，解得

設(shè)點(diǎn)，，則

取的中點(diǎn)，則，則

即 ，化簡(jiǎn)得，無(wú)實(shí)數(shù)解，故舍去．

②當(dāng)時(shí)， 為橢圓的左右頂點(diǎn)，顯然滿(mǎn)足，此時(shí)直線(xiàn)的方程為．

綜上可知，存在直線(xiàn)滿(mǎn)足題意，此時(shí)直線(xiàn)的方程為．