Question

7．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，數列{b_n}中，b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}_{n}）}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：兩式相減2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，采用“累乘法”即可求得數列{a_n}，b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$=2ⁿ⁺¹；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}_{n}）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，即可求得T_n．

解答 解：（Ⅰ）當n≥2時，由2S_n=（n+1）a_n，則2S_n-1=na_n-1，
兩式相減得：2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
由a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{2}{1}$•1=n，（n≥2），
當n=1時，a₁=1，
∴a_n=n，（n∈N*）；
由b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$=2ⁿ⁺¹．
∴{b_n}的通項公式b_n=2ⁿ⁺¹；
（Ⅱ）由（Ⅰ），$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}_{n}）}$=$\frac{1}{n（lo{g}_{2}{2}^{n+1}）}$，
=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
由數列{$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}_{n}）}$}的前n項和T_n，T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$．
數列{$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}_{n}）}$}的前n項和T_n=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數列的前n項和求法，考查“裂項法”，“累乘法”，考查計算能力，屬于中檔題．