Question

已知函數(shù)f(x)=(x2-x-

1

a

)eax（a＞0且a為常數(shù)）．
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f(x)+

3

a

≥0對x∈[-

3

a

，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意把a代入解析式使解析式具體，在對函數(shù)f（x）利用導數(shù)法則求其導函數(shù)，令導函數(shù)大于0，求出函數(shù)的增區(qū)間，令導函數(shù)小于0求出函數(shù)的減區(qū)間；
（II）由題意，此問題屬于函數(shù)的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在定義域內(nèi)求最值，在令最小值還大于等于0即可．

解答：解：對函數(shù)f（x）求導得：f′（x）=e^ax（ax+2）（x-1）
（Ⅰ）當a=2時，f′（x）=e^2x（2x+2）（x-1）
令f′（x）＞0解得x＞1或x＜-1；
令f′（x）＜0解得-1＜x＜1；
所以，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
f（x）單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）
（Ⅱ）令f′（x）=0，即（ax+2）（x-1）=0，
解得x=-

2

a

或x=1
由a＞0時，得：當x∈（-∞，-

2

a

）時，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）此區(qū)間單調(diào)遞增；
當x∈(-

2

a

，1)時，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減；
當x∈（1，+∞）時，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增，

∵f（-

3

a

）＞0，f（1）＜0，所以，函數(shù)在x=1時取得最小值f(1)=-

1

a

ea＜0
所以，當x∈R時，f(x)min=f(1)=-

1

a

ea，
由題意，不等式f(x)+

3

a

≥0對x∈R恒成立，
所以得-

1

a

ea+

3

a

≥0，解得0＜a≤ln3．

點評：（I）此題考查了利用導函數(shù)求其定義域下的單調(diào)區(qū)間；
（II）此題考查了函數(shù)在x∈R下恒成立為題可以等價的轉(zhuǎn)化為函數(shù)在定義域下最小值還大于等于0成立，此處等價轉(zhuǎn)化的思想在高考中常用．