Question

（2011•嘉定區(qū)三模）已知a＞1，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x-1的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，g（x）=log_a（x²-2x+2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]（n＞m＞-1）上的值域?yàn)?span id="yeswios" class="MathJye">[loga

p

m

 ， loga

p

n

]，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=a^{f（x）-g（x）}，若w≥F（x）對(duì)一切x∈（-1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)w的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x-1的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，知函數(shù)y=f（x）是函數(shù)y=a^x-1的反函數(shù)，從而可解．
（2）利用f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，可得 f(m)=loga(m+1)=loga

p

m

，f(n)=loga(n+1)=loga

p

n

，從而可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，1）有兩個(gè)不同的解，故可解．
（3）將w≥F（x）對(duì)一切x∈（-1，+∞）恒成立，轉(zhuǎn)化為w≥F（x）_max，從而求函數(shù)的最大值即可．

解答：解：（1）由題意，函數(shù)y=f（x）是函數(shù)y=a^x-1的反函數(shù)，…（2分）
所以f（x）=log_a（x+1）（a＞1，x＞-1）．…（4分）
（2）因?yàn)閍＞1，所以f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，所以f(m)=loga(m+1)=loga

p

m

，f(n)=loga(n+1)=loga

p

n

，…（6分）
即m+1=

p

m

，n+1=

p

n

（n＞m＞-1且m≠0，n≠0），…（7分）
即m、n是方程x+1=

p

x

（x∈（-1，0）∪（0，+∞））的兩個(gè)不同解．…（8分）
即關(guān)于x的方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，1）有兩個(gè)不同的解．
所以

△=1+4p＞0 (-1)2+(-1)-p＞0 - 1 2 ＞-1

，解得-

1

4

＜p＜0．
（3）F(x)=aloga(x+1)-loga(x2-2x+2)=aloga

x+1

x2-2x+2

=

x+1

x2-2x+2

，…（12分）
令t=x+1，t＞0，則x=t-1，于是F(x)=

t

(t-1)2-2(t-1)+2

=

t

t2-4t+5

=

1

t+ 5 t -4

，…（14分）
因?yàn)閠＞0，所以t+

5

t

-4≥2

5

-4，當(dāng)且僅當(dāng)t=

5

時(shí)取等號(hào)．…（15分）
所以F(x)max=

1

2 5 -4

=

5 +2

2

．                 …（16分）
因?yàn)閣≥F（x）對(duì)一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以w≥F（x）_max，…（17分）
因此w的取值范圍是[

5 +2

2

 ， +∞)．                    …（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題以反函數(shù)為依托，考查函數(shù)的解析式，研究函數(shù)的值域及恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．