Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁到平面ACB₁的距離為（　�。�

• A．

  3

  3

  a
• B．

  2 3

  3

  a
• C．

  2

  a
• D．

  2

  2

  a

Answer 1

分析：先證明BD₁⊥平面AB₁C，再計(jì)算BO的長，即可求得D₁到平面ACB₁的距離．

解答：解：連接BD₁，BD，則AC⊥BD，AC⊥B₁B
∵BD∩B₁B=B，∴AC⊥平面BD₁，
∵BD₁?平面BD₁，∴AC⊥BD₁，
同理AB₁⊥BD₁，
∵AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面AB₁C
設(shè)垂足為O，在三棱錐B₁-ABC中，

1

3

×

1

2

a×a×a=

1

3

×

3

4

×2a2×BO
∴BO=

3

3

a
∵BD₁=

3

a
∴D₁O=

2 3

3

a
即D₁到平面ACB₁的距離為

2 3

3

a
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，考查線面垂直的證明與三棱錐的體積，屬于中檔題．