Question

18．若關于x的不等式|x+a|≤b的解集為[-6，2]．
（1）求實數a，b的值；
（2）若實數m，n滿足|am+n|＜$\frac{1}{3}$，|m-bn|＜$\frac{1}{6}$，求證：|n|＜$\frac{2}{27}$．

Answer 1

分析 （1）關于x的不等式|x+a|≤b的解集為[-b-a，b-a]，利用條件建立方程組，即可求實數a，b的值；
（2）利用|n|=$\frac{1}{9}$|（2m+n）-（2m-8n）|≤$\frac{1}{9}$|2m+n|+2|m-4n|，即可證明結論．

解答 （1）解：關于x的不等式|x+a|≤b的解集為[-b-a，b-a]，
∵關于x的不等式|x+a|≤b的解集為[-6，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-a=2}\\{-b-a=-6}\end{array}\right.$，∴a=2，b=4；
（2）證明：∵實數m，n滿足|am+n|＜$\frac{1}{3}$，|m-bn|＜$\frac{1}{6}$，
∴|n|=$\frac{1}{9}$|（2m+n）-（2m-8n）|≤$\frac{1}{9}$|2m+n|+2|m-4n|＜$\frac{1}{9}（\frac{1}{3}+\frac{1}{3}）$=$\frac{2}{27}$．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查三角不等式的運用，屬于中檔題．