Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{m}{x}$+lnx+x，g（x）=x³-3x．
（I）若m=2，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的s∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在t∈[$\frac{1}{2}$，2]有f（s）≤g（t），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將m=2代入函數(shù)f（x）的表達(dá)式，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）對(duì)于任意的s∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在t∈[$\frac{1}{2}$，2]有f（s）≤g（t），?g（t）_max≥f（s）_max．求出f（s）在s∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值，利用導(dǎo)數(shù)可得g（t）_max=g（2），解出即可．

解答 解：（Ⅰ）m=2時(shí)，f（x）=$\frac{2}{x}$+lnx+x，f′（x）=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（1）=3；
（Ⅱ）對(duì)于任意的s∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在t∈[$\frac{1}{2}$，2]有f（s）≤g（t），?g（t）_max≥f（s）_max．
由（Ⅰ）得：f（s）在[$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，2]遞增，
而f（$\frac{1}{2}$）=2m+ln$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，f（2）=$\frac{m}{2}$+ln2+2，
f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=$\frac{3}{2}$m-2ln2-$\frac{3}{2}$，
令f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=0，解得：m=$\frac{4}{3}$ln2+1，
∴m＞$\frac{4}{3}$ln2+1時(shí)，f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
m＜$\frac{4}{3}$ln2+1時(shí)，f（$\frac{1}{2}$）＜f（2），
f（s）_max={f（$\frac{1}{2}$）或f（2）}，
g（t）=t³-3t，g′（t）=3t²-3，
令g′（t）＞0，解得：t＞1，令g′（t）＜0，解得：t＜1，
∴g（t）在[$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，2]遞增，
而g（$\frac{1}{2}$）=-1，g（2）=2，∴g（t）在[$\frac{1}{2}$，2]的最大值是2，
∴m＞$\frac{4}{3}$ln2+1時(shí)，2＞2m+ln$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，解得：m＜$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$ln2，
m＜$\frac{4}{3}$ln2+1時(shí)，2＞$\frac{m}{2}$+ln2+2，解得：m＜-2ln2，
經(jīng)檢驗(yàn)，m=-2ln2符合題意，
綜上，m∈（-∞，-2ln2]∪（$\frac{4}{3}$ln2+1，$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$ln2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．