Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=4+（-$\frac{1}{2}$）^n-1，則3S_n-a_n-12n的值是-1；若對任意正整數(shù)n，恒有1≤p（S_n-4n）≤3成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是$（\frac{3}{2}，3]$．

Answer 1

分析 a_n=4+（-$\frac{1}{2}$）^n-1，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得S_n=4n+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）^{n}$．代入3S_n-a_n-12n即可得出．代入1≤p（S_n-4n）≤3化為1≤p$[\frac{2}{3}-\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）^{n}]$≤3，即$\frac{3}{2}×\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤p≤$\frac{9}{2}×\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$．由數(shù)列$\{1-（-\frac{1}{2}）^{n}\}$可得：研究數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a_n=4+（-$\frac{1}{2}$）^n-1，∴S_n=4n+$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=4n+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）^{n}$．
則3S_n-a_n-12n=12n+3-2×$（-\frac{1}{2}）^{n}$-4-（-$\frac{1}{2}$）^n-1-12n=-1．
S_n-4n=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）^{n}$．
∴1≤p（S_n-4n）≤3化為1≤p$[\frac{2}{3}-\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）^{n}]$≤3，
∴$\frac{3}{2}×\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤p≤$\frac{9}{2}×\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$．
由數(shù)列$\{1-（-\frac{1}{2}）^{n}\}$可得：數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為單調(diào)遞減數(shù)列，最大值為$\frac{3}{2}$；數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為單調(diào)遞增數(shù)列，最小值為$\frac{3}{4}$，最大值趨近于1；
∴$\frac{3}{2}$＜p≤3．
故答案分別為：-1；$（\frac{3}{2}，3]$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．