Question

某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm，秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合．
（1）將A，B兩點(diǎn)間的直線距離d（cm）表示成時(shí)間t（s）的函數(shù)，其中t∈[0，60]；
（2）若h（t）=

5-d(60-20t)

，其中t∈[0，30]，求出函數(shù)h（t）的所有最高點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）確定∠AOB，利用余弦定理，可求A，B兩點(diǎn)間的直線距離d（cm）表示成時(shí)間t（s）的函數(shù)；
（2）利用余弦函數(shù)的最值，可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠AOB=

t

60

×2π=

πt

30

∴由余弦定理可得|AB|=5

2(1-cos πt 30 )

=10cos

πt

60

，t∈[0，60]；
（2）h（t）=

5-d(60-20t)

=

5-10cos π(60-20t) 60

=

5+10cos t 3

，其中t∈[0，30]，
∴cos

t

3

=1時(shí)，，h（t）取得最大值為

15

此時(shí)，

t

3

=2kπ（k∈Z），∴t=6kπ
∵t∈[0，30]，∴t=0或6π
即函數(shù)h（t）的所有最高點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

15

）或（6π，

15

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．