Question

9．設(shè)函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）+f（x）=0且f（x+1）=f（x-1），若x∈（0，1）時，f（x）=log₂$\frac{1}{1-x}$，則y=f（x）在（1，2）內(nèi)是（　�。�

• A． 單調(diào)增函數(shù)，且f（x）＜0
• B． 單調(diào)減函數(shù)，且f（x）＜0
• C． 單調(diào)增函數(shù)，且f（x）＞0
• D． 單調(diào)增函數(shù)，且f（x）＞0

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進行判斷即可．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x），
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)，
設(shè)t=$\frac{1}{1-x}$，則函數(shù)在x∈（0，1）上為增函數(shù)，y=log₂t為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，
∵函數(shù)的周期是2，
∴函數(shù)f（x）在（1，2）上為增函數(shù)，
若x∈（-1，0），則-x∈（0，1），
則f（-x）=log₂$\frac{1}{1+x}$，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=log₂$\frac{1}{1+x}$=-f（x），
即f（x）=-log₂$\frac{1}{1+x}$=log₂（x+1），
當(dāng)x∈（-1，0），則x+1∈（0，1），則f（x）＜0，
即函數(shù)y=f（x）在（1，2）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，且f（x）＜0，
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性與單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義以及函數(shù)周期性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．