Question

4．設(shè)S_n，T_n分別是數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項和，已知對于任意n∈N^*，都有3a_n=2S_n+3，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且T₅=25，b₁₀=19．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n（n+1）}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和R_n．

Answer 1

分析 （I）3a_n=2S_n+3，∴利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出a_n．利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出b_n．
（II）c_n=$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n}（2n-1）}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n}[3n-（n+1）]}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{3}^{n}}{n}$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵3a_n=2S_n+3，∴n≥2時，3a_n-1=2S_n-1+3，
相減可得：3a_n-3a_n-1=2a_n，化為：a_n=3a_n-1，
n=1時，可得3a₁=2a₁+3，解得a₁=3．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項與公比都為3．
∴a_n=3ⁿ．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，∵T₅=25，b₁₀=19．
∴5b₁+$\frac{5×4}{2}$×d=25，b₁+9d=19，
聯(lián)立解得：b₁=1，d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）c_n=$\frac{{{a}_{n}b}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n}（2n-1）}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n}[3n-（n+1）]}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{3}^{n}}{n}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和R_n=$（\frac{{3}^{2}}{2}-\frac{3}{1}）$+$（\frac{{3}^{3}}{3}-\frac{{3}^{2}}{2}）$+…+$（\frac{{3}^{n+1}}{n+1}-\frac{{3}^{n}}{n}）$=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-3．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)、裂項求和、數(shù)列的遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．