Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導數(shù)f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．
從而f（x）在(0，

1

e

)單調(diào)遞減，在(

1

e

，+∞)單調(diào)遞增．
所以，當x=

1

e

時，f（x）取得最小值-

1

e

．
（Ⅱ）依題意，得f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立，
即不等式a≤lnx+

1

x

對于x∈[1，+∞）恒成立．
令g(x)=lnx+

1

x

，
則g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

1

x

(1-

1

x

)．
當x＞1時，
因為g′(x)=

1

x

(1-

1

x

)＞0，
故g（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
從而a的取值范圍是（-∞，1]．