Question

已知?jiǎng)又本�l：（m+3）x-（m+2）y+m=0與圓C：（x-3）²+（y-4）²=9
（1）求證：無(wú)論m為何值，直線l與圓C總相交．
（2）m為何值時(shí)，直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最��？并求出該最小值．

Answer 1

分析：（1）方法一：設(shè)圓心C（3，4）到動(dòng)直線l的距離為d，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d，只要證明d＜r即可；
方法二　直線l變形為m（x-y+1）+（3x-2y）=0．利用直線系過(guò)定點(diǎn)，若定點(diǎn)在圓的內(nèi)部即可；
（2）利用垂徑定理和弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答：（1）證明：方法一：設(shè)圓心C（3，4）到動(dòng)直線l的距離為d，則
d=

|(m+3)•3-(m+2)•4+m|

(m+3)2+(m+2)2

=

1

2(m+ 5 2 )2+ 1 2

≤

2

．
∴當(dāng)m=-

5

2

時(shí)，d_max=

2

＜3=r．
故動(dòng)直線l總與圓C相交．
方法二　直線l變形為m（x-y+1）+（3x-2y）=0．
令

x-y+1=0 3x-2y=0

解得

x=2 y=3

如圖所示，故動(dòng)直線l恒過(guò)定點(diǎn)A（2，3）．
而AC=

(2-3)2+(3-4)2

=

2

＜3（半徑）．
∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，故無(wú)論m取何值，直線l與圓C總相交．
（2）解：由平面幾何知識(shí)知，弦心距越大，弦長(zhǎng)越小，即當(dāng)AC垂直直線l時(shí)，弦長(zhǎng)最�。�
∴最小值為2

32-( 2 )2

=2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d＜r或利用直線系過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓的內(nèi)部垂徑定理、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．