若y=cos2x+2psinx+q有最大值9和最小值6,求實(shí)數(shù)p,q的值.
分析:先令sinx=t將y=cos2x+2psinx+q轉(zhuǎn)化為關(guān)于t且t∈[-1,1]的一元二次函數(shù),然后求出其對(duì)稱軸,再對(duì)p的值進(jìn)行討論從而可確定函數(shù)在[-1,1]上的單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)其最值可求出p,q的值.
解答:解:令sinx=t,t∈[-1,1],
y=1-sin2x+2psinx+q
y=-(sinx-p)2+p2+q+1=-(t-p)2+p2+q+1
∴y=-(t-p)2+p2+q+1,對(duì)稱軸為t=p
當(dāng)p<-1時(shí),[-1,1]是函數(shù)y的遞減區(qū)間,
ymax=y|t=-1=(-1-p)2+p2+q+1=9,ymin=y|t=1=(1-p)2+p2+q+1=6,
p=
3
4
,q=
15
2
,與p<-1矛盾;
當(dāng)p>1時(shí),[-1,1]是函數(shù)y的遞增區(qū)間,
ymax=y|t=1=2p+q=9,ymin=y|t=-1=-2p+q=6,
p=
3
4
,q=
15
2
,與p>1矛盾;
當(dāng)-1≤p≤1時(shí),ymax=y|t=p=p2+q+1=9,
再當(dāng)p≥0,ymin=y|t=-1=-2p+q=6,得p=
3
-1,q=4+2
3
;
當(dāng)p<0,ymin=y|t=1=2p+q=6,得p=-
3
+1,q=4+2
3

p=±(
3
-1),q=4+2
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和一元二次函數(shù)的單調(diào)性以及最值的問(wèn)題.考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若函數(shù)y=cos2x與y=sin(x+φ)在[0,
π2
]
上的單調(diào)性相同,則φ的一個(gè)值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)為( 。
①若函數(shù)f(x)=sinx-cosx+1,則y=|f(x)|的周期為2π;
②若函數(shù)f(x)=cos4x-sin4x,則f′(
π
12
)=-1
;
③若角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(sin
6
,cos
6
)
,則角α的最小正值為
3
;
④函數(shù)y=2cos2x的圖象可由函數(shù)y=cos2x+
3
sin2x
的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位得到.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義向量⊕運(yùn)算:
a
b
=
c
,若
a
=(a1,a2),
b
=(b1,b2),則向量
c
=(a1b1,a2b2).已知
m
=(
1
2
,2
),
n
=(
π
6
,0
),且點(diǎn)P(x,y)在函數(shù)y=cos2x的圖象上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在函數(shù)y=f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P和點(diǎn)Q滿足:
OQ
=
m
OP
+
n
(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則函數(shù)y=f(x)的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出以下四個(gè)命題,所有真命題的序號(hào)為
 

①?gòu)目傮w中抽取的樣本(x1,y1),(x2,y2),L,(xn,yn),若記
.
x
=
1
n
i=1nxi
.
y
=
1
n
i=1nyi,則回歸直線y=bx+a必過(guò)點(diǎn)(
.
x
,
.
y

②將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位,得到函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)
的圖象;
③已知數(shù)列an,那么“對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)Pn(n,aa)都在直線y=2x+1上”是{an}為等差數(shù)列的“充分不必要條件”
④命題“若x≥2,則x≥2或x≤-2”的否命題是“若{x}≥2,則-2<x<2”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下面四個(gè)命題:
①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后,方差恒不變;
②若命題P:所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù),則P:存在能被3整除的數(shù)不是奇數(shù);
③將函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)的圖象向右平移
π
6
個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-cos2x;
④在一個(gè)2×2列聯(lián)表中,由計(jì)算得K2=13,079,則其兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性是90%.
P(K2≥k0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中所有正確的命題序號(hào)是
 

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