Question

設(shè)平面向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，其中，k，t，s∈R．
（1）若

x

⊥

y

，求函數(shù)關(guān)系式s=f（t）；
（2）在（1）的條件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；
（3）實(shí)數(shù)k在什么范圍內(nèi)取值時(shí)？對(duì)該范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的k值，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使

x

•

y

=2-s．

Answer 1

分析：（1）由已知中平面向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，若

x

⊥

y

，則

x

•

y

=0，代入整理可得函數(shù)關(guān)系式s=f（t）；
（2）令k=3，可得s=t³-3t，則s'=3t²-3，分析函數(shù)的單調(diào)性可得t∈[-2，3]時(shí)，s的最大值．
（3））由已知可得

x

•

y

=2-s，故-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，分別分析當(dāng)t=0時(shí)和當(dāng)t≠0時(shí)，等式成立的條件，可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵設(shè)平面向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，
又∵

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，
當(dāng)

x

⊥

y

時(shí)，

x

•

y

=0
即[

a

+(t2-k)

b

]•[-s

a

+t

b

]=0
即-S+t³-kt=0
故s=t³-kt…（4分）
（2）∵k=3，
∴s=t³-3t，s'=3t²-3，
由s'=0⇒t₁=-1，t₂=1，
f（t）在（-∞，-1）上遞增，（-1，1）上遞減，（1，+∞）遞增，
又∵f（-1）=2，f（3）=18，
∴s的最大值為18                                     …（10分）
（3）∵

x

•

y

=2-s，
∴-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，…（12分）
當(dāng)t=0時(shí)，等式不成立；
當(dāng)t≠0時(shí)，k=t2-

2

t

，k′=2t+

2

t2

=

2(t3+1)

t2

=0⇒t=-1
k（t）在（-∞，-1）上遞減，（-1，0）上遞增，（0，+∞）遞增，
結(jié)合圖象可知k＜3時(shí)符合要求．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)在定區(qū)間上的最值，其中根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，求出s關(guān)于變量t函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．