【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+,若函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值.
【答案】
【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),討論函數(shù)單調(diào)性求最值,列方程求解即可.
函數(shù)的定義域為[1,e],
f′(x)=-=,
令f′(x)=0,得x=a,
①當(dāng)a≤1時,f′(x)≥0,
函數(shù)f(x)在[1,e]上是增函數(shù),
f(x)min=f(1)=ln1+a=,
∴a=(-∞,1],故舍去.
②當(dāng)1<a<e時,令f′(x)=0得x=a,
函數(shù)f(x)在[1,a]上是減函數(shù),在[a,e]上是增函數(shù),
∴f(x)min=f(a)=lna+=.
∴a=∈(1,e),故符合題意.
③當(dāng)a≥e時,f′(x)≤0,
函數(shù)f(x)在[1,e]上是減函數(shù),
f(x)min=f(e)=lne+=,
∴a=e[e,+∞),故舍去,
綜上所述a=.
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【題目】已知橢圓C: 的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù),且過點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過作兩條直線與圓相切且分別交橢圓于M、N兩點.
① 求證:直線MN的斜率為定值;
② 求△MON面積的最大值(其中O為坐標原點).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=xcos+a,a∈R.
(I)求曲線y=f(x)在點x=處的切線的斜率;
(II)判斷方程f '(x)=0(f '(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù))在區(qū)間(0,1)內(nèi)的根的個數(shù),說明理由;
(III)若函數(shù)F(x)=xsinx+cosx+ax在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個極值點,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,貨輪在海上B處,以50海里/時的速度沿方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角)為155o的方向航行,為了確定船位,在B點處觀測到燈塔A的方位角為125o.半小時后,貨輪到達C點處,觀測到燈塔A的方位角為80o.求此時貨輪與燈塔之間的距離(答案保留最簡根號).
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項的和記為Sn.如果a4=-12,a8=-4.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求Sn的最小值及其相應(yīng)的n的值;
(3)從數(shù)列{an}中依次取出a1,a2,a4,a8,…,,…,構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn},求{bn}的前n項和
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【題目】下列敘述錯誤的是( )
A.已知直線和平面,若點,點且,,則
B.若三條直線兩兩相交,則三條直線確定一個平面
C.若直線不平行于平面,且,則內(nèi)的所有直線與都不相交
D.若直線和不平行,且,,,則l至少與,中的一條相交
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【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,且有,則不等式 的解集為
A. B. C. D.
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【題目】中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中,稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”,如圖(1)(2),劉徽未能求得牟合方蓋的體積,直言“欲陋形措意,懼失正理”,不得不說“敢不闕疑,以俟能言者”.約200年后,祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同,則積不容異”,后世稱為祖暅原理,即:兩等高立體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立體體積相等.如圖(3)(4),祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與長寬高皆為八分之一正方體的邊長的倒四棱錐“等冪等積”,計算出牟合方蓋的體積,據(jù)此可知,牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為( )
A. B. C. D.
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