【題目】已知函數(shù)f(x)=xcos+a,a∈R.

(I)求曲線y=f(x)在點x=處的切線的斜率;

(II)判斷方程f '(x)=0(f '(x)為f(x)的導數(shù))在區(qū)間(0,1)內(nèi)的根的個數(shù),說明理由;

(III)若函數(shù)F(x)=xsinx+cosx+ax在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個極值點,求a的取值范圍.

【答案】I. II1個;III-cos1a<0.

【解析】試題分析:1)取出函數(shù)的導函數(shù),可得在點處的導數(shù)值,即可得到切線的斜率;

2)設,求其導數(shù),可得當時, ,則函數(shù)為減函數(shù),結合,可得有且只有一個,使成立,即方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實數(shù)解;

3)把函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點,轉化為在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點,且兩側異號,然后結合(2)中的單調(diào)性,列出不等式組,即可求解實數(shù)的取值范圍.

試題解析:

If 'x=cosx-xsinx·k=f '=.

II)設gx=f 'x),g' x=-sinx-sin x+xcosx=-2sinx-xcosx.

x∈0,1)時,g 'x<0,則函數(shù)gx)為減函數(shù).

又因為g0=1>0,g1=cos1-sin1<0

所以有且只有一個x00,1),使gx0=0成立.

所以函數(shù)gx)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個零點,即方程f 'x=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個實數(shù)根.

III)若函數(shù)Fx=xsinx+cosx+ax在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個極值點,由于F 'x=fx),即fx=xcosx+a在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個零點x1,且fx)在x1兩側異號.

因為當x∈0,1)時,函數(shù)gx)為減函數(shù),所以在(0,x0)上,gx>gx0=0,即f 'x>0成立,函數(shù)fx)為增函數(shù);

在(x0,1)上,gx<gx0=0,即f 'x<0成立,函數(shù)fx)為減函數(shù).

則函數(shù)fx)在x=x0處取得極大值fx0.

fx0=0時,雖然函數(shù)fx)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個零點x0,但fx)在x0兩側同號,不滿足Fx)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個極值點的要求.

由于f1=a+cos1f0=a,顯然f1>f0.

若函數(shù)fx)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個零點x1,且fx)在x1兩側異號,

則只需滿足:

.,解得-cos1a<0.

練習冊系列答案
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∴曲線的普通方程為

代入上式可得,

∴曲線的極坐標方程為: -

2)設兩點的極坐標方程分別為,

消去,

根據(jù)題意可得是方程的兩根,

,

型】解答
束】
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