Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，三角形PAD為等邊三角形，平面APD⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，E，F(xiàn)分別為AD和PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）求點(diǎn)B到平面PAC的距離．

Answer 1

分析：（1）取DP的中點(diǎn)G，連接EG、FG．要證EF∥平面PAD，需要證面GEF∥面PAD，需要證

GF∥PD GE∥AD

，易得證明思路．
（2）求點(diǎn)B到平面PAC的距離常用體積相等來(lái)求解即v_B-PAC=V_P-ABC而三棱錐P-ABC的高利用題中的條件易知是PE在利用體積相等可求解．

解答：解：（1）取DP的中點(diǎn)G，連接EG、FG，
∵F是PC的中點(diǎn)，G是DP的中點(diǎn)，
∴GF是△PCD的中位線，GF∥CD∥AB；
∵G是DP的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，
∴GE∥AP；
GE、GF⊆面GEF，GE與GF相交，∴面GEF∥面PAB，
∵EF⊆面GEF，∴EF∥平面PAB．
（2）連接pE，EC
∵三角形PAD為等邊三角形且E為AD的中點(diǎn)
∴PE⊥AD
∵面PAD⊥面ABCD
∴PE⊥面ABCD
∴PE⊥EC
∵AB=2，AD=1
∴PE=

3

2

，EC=

17

2

∴PC=

PE2+  EC2

=

5

∴S△PAC=

19

4

設(shè)B到面PAC的距離為h則v_B-PAC=V_P-ABC．．，
∴h=

2 57

19

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積公式等知識(shí)點(diǎn)；求棱錐的高常用高的找法是輪換棱錐的頂點(diǎn)利用體積相等來(lái)求同時(shí)本題用了等過(guò)三角形的中點(diǎn)和勾股定理找垂直．