Question

【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）記，.

①求Tn；

②求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②證明見解析；

【解析】

（1）利用公式得到，再迭代一次得到數(shù)列{an}為等差數(shù)列，計(jì)算得到答案.

（2），利用裂項(xiàng)相消法得到，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算函數(shù)單調(diào)性得到證明.

（1）因?yàn)?/span>，所以n=2時(shí)，S1=1，即a1=1.

因?yàn)?/span>n≥2時(shí)，，即，時(shí)也適合該式.

所以n≥2時(shí)，，，

兩式相減得，則，

兩式相減得，n≥2.

所以，n≥2，所以.

所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，因?yàn)?/span>a1=1，a2=2，所以公差d=1，所以.

（2）①因?yàn)?/span>an=n，所以，

所以，

②要證，只要證，

只要證，即證.

設(shè)，x>1，令，x>1，則，

設(shè)，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，

故，故x>1時(shí)，，故在恒成立.

所以在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，所以，所以所證不等式成立.