【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為,且滿足,,,.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記,.
①求Tn;
②求證:.
【答案】(1)(2)①②證明見解析;
【解析】
(1)利用公式得到,再迭代一次得到數(shù)列{an}為等差數(shù)列,計(jì)算得到答案.
(2),利用裂項(xiàng)相消法得到,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),計(jì)算函數(shù)單調(diào)性得到證明.
(1)因?yàn)?/span>,所以n=2時(shí),S1=1,即a1=1.
因?yàn)?/span>n≥2時(shí),,即,時(shí)也適合該式.
所以n≥2時(shí),,,
兩式相減得,則,
兩式相減得,n≥2.
所以,n≥2,所以.
所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列,因?yàn)?/span>a1=1,a2=2,所以公差d=1,所以.
(2)①因?yàn)?/span>an=n,所以,
所以,
②要證,只要證,
只要證,即證.
設(shè),x>1,令,x>1,則,
設(shè),,則,函數(shù)單調(diào)遞增,
故,故x>1時(shí),,故在恒成立.
所以在上單調(diào)遞增,
因?yàn)?/span>,所以,所以所證不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年寒假是特殊的寒假,因?yàn)橐咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí),為研究學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況,某校社團(tuán)對(duì)男女各10名學(xué)生進(jìn)行了網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)的問卷調(diào)查,每名學(xué)生給出評(píng)分(滿分100分),得到如圖所示的莖葉圖.
(1)根據(jù)莖葉圖判斷男生組和女生組哪個(gè)組對(duì)網(wǎng)課的評(píng)價(jià)更高?并說明理由;
(2)如圖是按該20名學(xué)生的評(píng)分繪制的頻率分布直方圖,求的值并估計(jì)這20名學(xué)生評(píng)分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表);
(3)求該20名學(xué)生評(píng)分的中位數(shù),并將評(píng)分超過和不超過的學(xué)生數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
超過 | 不超過 | |
男生 | ||
女生 |
根據(jù)列聯(lián)表,能否有的把握認(rèn)為男生和女生的評(píng)分有差異?
附:,
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | ||
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,設(shè)內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,且.
(1)若,,成等比數(shù)列,求證:;
(2)若(為銳角),.求中邊上的高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)T,對(duì)任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
(1)函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M?說明理由;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn),證明:f(x)=ax∈M;
(3)若函數(shù)f(x)=sinkx∈M,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠的一臺(tái)某型號(hào)機(jī)器有2種工作狀態(tài):正常狀態(tài)和故障狀態(tài).若機(jī)器處于故障狀態(tài),則停機(jī)檢修.為了檢查機(jī)器工作狀態(tài)是否正常,工廠隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了該機(jī)器以往正常工作狀態(tài)下生產(chǎn)的1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得出如圖1所示頻率分布直方圖.由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,其中近似為這1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù),近似為這1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表).若產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值全部在之內(nèi),就認(rèn)為機(jī)器處于正常狀態(tài),否則,認(rèn)為機(jī)器處于故障狀態(tài).
(1)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)從該機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件測得的質(zhì)量指標(biāo)值:
29 45 55 63 67 73 78 87 93 113
請(qǐng)判斷該機(jī)器是否出現(xiàn)故障?
(2)若機(jī)器出現(xiàn)故障,有2種檢修方案可供選擇:
方案一:加急檢修,檢修公司會(huì)在當(dāng)天排除故障,費(fèi)用為700元;
方案二:常規(guī)檢修,檢修公司會(huì)在七天內(nèi)的任意一天來排除故障,費(fèi)用為200元.
現(xiàn)需決策在機(jī)器出現(xiàn)故障時(shí),該工廠選擇何種方案進(jìn)行檢修,為此搜集檢修公司對(duì)該型號(hào)機(jī)器近100單常規(guī)檢修在第i(,2,…,7)天檢修的單數(shù),得到如圖2所示柱狀圖,將第i天常規(guī)檢修單數(shù)的頻率代替概率.已知該機(jī)器正常工作一天可收益200元,故障機(jī)器檢修當(dāng)天不工作,若機(jī)器出現(xiàn)故障,該選擇哪種檢修方案?
附:,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,大擺錘是一種大型的游樂設(shè)備,常見于各大游樂園.游客坐在圓形的座艙中,面向外.通常,大擺錘以壓肩作為安全束縛,配以安全帶作為二次保險(xiǎn).座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí),懸掛座艙的主軸在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下做單擺運(yùn)動(dòng).大擺錘的運(yùn)行可以使置身其上的游客驚心動(dòng)魄.今年元旦,小明去某游樂園玩“大擺錘”,他坐在點(diǎn)處,“大擺錘”啟動(dòng)后,主軸在平面內(nèi)繞點(diǎn)左右擺動(dòng),平面與水平地面垂直,擺動(dòng)的過程中,點(diǎn)在平面內(nèi)繞點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng),并且始終保持,,已知,在“大擺錘”啟動(dòng)后,下列個(gè)結(jié)論中正確的是______(請(qǐng)?zhí)钌纤姓_結(jié)論的序號(hào)).
①點(diǎn)在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng);
②線段在水平地面上的正投影的長度為定值;
③直線與平面所成角的正弦值的最大值為;
④直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱柱中,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),.
(1)求證:平面;
(2)條件①:直線與平面所成的角為;
條件②:為銳角,三棱錐的體積為.
在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并解決該問題:
若平面平面,______,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)若射線與曲線C交于點(diǎn)A(不同于極點(diǎn)O),與直線l交于點(diǎn)B,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn),,,在球的同一個(gè)大圓上,點(diǎn)在球面上,且已知.
(1)求球的表面積;
(2)設(shè)為中點(diǎn),求異面直線與所成角的大。
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