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已知函數f（x）=x2（x-a），其中a∈R．g（x）=f（x）+f'（x）．
（I）當函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為2時，求此直線在y軸上的截距；
（II）求證：g（x）既有極大值又有極小值；
（III）若g（x）取極大值和極小值對應的x值分別在區(qū)間（-2，-1）和（3，4）內，求實數a的取值范圍．
分析：（I）求出f（x）的導函數，求出f'（1）=3-2a，令其為2求出a的值，寫出切線的方程，令方程中的x=0得到直線在y軸上的截距．
（II）求出g′（x）=3x2-2ax+6x-2a，得到其判別式大于0恒成立，即證得g（x）既有極大值又有極小值
（III）根據題意得到g′（x）=3x2-2ax+6x-2a的根的分布情況，結合二次函數圖象列出不等式，求出a的范圍．
解答：解：（I）f（x）=x2（x-a）=x3-ax2
f'（x）=3x2-2ax，
所以所以3-2a=2得
1
2

所以f（1）=
1
2

所以切線的方程為4x-2y-3=0
令x=0得y=-
3
2

所以此直線在y軸上的截距為-
3
2
．
（II）因為g（x））=x3-ax2+3x2-2ax
所以g′（x）=3x2-2ax+6x-2a
△=4a2+36＞0
所以g′（x）=3x2-2ax+6x-2a有兩個不等根，
所以g（x）既有極大值又有極小值；
（III）因為g（x）取極大值和極小值對應的x值分別在區(qū)間（-2，-1）和（3，4）內，
所以
g′(-2)＞0
g′(-1)＜0
g′(3)＜0
g′(4)＞0
即
2a＞0
-3＜0
45-8a＜0
72-10a＞0

解之得
45
8
＜a＜
36
5
點評：解決函數的性質問題，常借助導數，利用導數求曲線的切線時，一定注意函數在切點處的導數值為曲線的切線的斜率．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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