Question

判斷并利用定義證明f（x）=

1

1+x2

在（-∞，0）上的增減性．

Answer 1

分析：任取x₁＜x₂＜0，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而由函數單調性的定義，可得答案．

解答：解：f（x）=

1

1+x2

在（-∞，0）上單調遞增．理由如下：
任取x₁＜x₂＜0，
則x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

(x2+x1)(x2-x1)

(1+x12)(1+x22)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=

1

1+x2

在（-∞，0）上單調遞增．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，熟練掌握函數單調性證明的方法和步驟是解答的關鍵．