Question

1．已知函數(shù)y=ax³+bx²，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極大值3
（1）求a，b的值
（2）求函數(shù)y的極小值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的極大值建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax²+2bx，
∵當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極大值3
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{3a+2b=0}\end{array}\right.$．得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=9}\end{array}\right.$，
經(jīng)檢驗(yàn)x=1是函數(shù)的極大值，
故a=-6，b=9．
（2）當(dāng)a=-6，b=9時(shí)，f（x）=-6x³+9x²，
f′（x）=-18x²+18x，
由f′（x）＞0得0＜x＜1，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜0，
即當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值3，
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值f（0）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)極值的求解和應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)極值和函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．