Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F₁（0，-1），離心率為

3

3

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F₁作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₂是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，若S△ABF2=

8 3

9

時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，運(yùn)用幾何性質(zhì)求解，a，b，c即可得出方程．
（2）化簡(jiǎn)方程得：（2k²+3）x²-4kx-4=0，利用弦長(zhǎng)公式求解得|AB|=

4 3 (1+k2)

2k2+3

，根據(jù)S△ABF2=

8 3

9

，得出

1

2

×

4 3 (1+k2)

2k2+3

×

2

k2+1

=

8 3

9

，求解k的值即可得到直線的方程．

解答： 解：（1）：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，
∵一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F₁（0，-1），離心率為

3

3

．
∴c=1，a=

3

∵a²=b²+c²
∴b=

2

∴

y2

3

+

x2

2

=1，
（2）∵F₁（0，-1），F(xiàn)₂是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴直線AB的方程y=kx-1①，k存在時(shí)
①代入

y2

3

+

x2

2

=1化簡(jiǎn)得：（2k²+3）x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=

4k

2k2+3

，x₁x₂=

-4

2k2+3

，
|AB|=

4 3 (1+k2)

2k2+3

，
∵F₂到直線AB的距離為：

2

k2+1

S△ABF2=

1

2

×

4 3 (1+k2)

2k2+3

×

2

k2+1

=

8 3

9

，
k²=3，即k=±

3

，
∴直線AB的方程y=±

3

x-1，
∵當(dāng)率不存在時(shí)，AB=，x=0，不能構(gòu)成三角形，∴不符合題意．
故直線AB的方程y=±

3

x-1，

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的方程，幾何性質(zhì)，弦長(zhǎng)公式，運(yùn)算量大，是常規(guī)題型，屬于難題．