Question

（實(shí)）已知直線y=kx（k＞0）與函數(shù)y=2sin(x-

π

6

)的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，若這兩個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α，β，且β＜α，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

• A．tan(α-

  2

  3

  π)=-

  1

  α

• B．tan(β-

  2π

  3

  )=-

  1

  α

• C．tan(α-

  π

  6

  )=β
• D．tan(β-

  π

  6

  )=β

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，最后將切點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程結(jié)合誘導(dǎo)公式即可使問題解決．

解答：解：令f（x）=2sin（x-

π

6

），
∵直線y=kx（k＞0）從y軸開始圍繞原點(diǎn)順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，y=kx（k＞0）與函數(shù)y=2sin（x-

π

6

）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，到相切時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)，再轉(zhuǎn)下去會(huì)有超過兩個(gè)的公共點(diǎn)．
∴直線y=kx（k＞0）與函數(shù)y=2sin（x-

π

6

）的圖象相切，
∴y′=2cos（x-

π

6

），即k=2cos（x-

π

6

），
∵直線y=kx（k＞0）與函數(shù)y=2sin（x-

π

6

）的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，這兩個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α，β，且β＜α，故切點(diǎn)A（α，f（α）），交點(diǎn)B（β，f（β）），
所以切線方程為y=2xcos（α-

π

6

）．
將切點(diǎn)的坐標(biāo)（α，2sin（α-

π

6

））代入切線方程得：2sin（α-

π

6

）=2α•cos（α-

π

6

）．
∴tan（α-

π

6

）=α．
∴tan（α-

2π

3

）=tan[（α-

π

6

）-

π

2

]=-tan[

π

2

-（α-

π

6

）]=-

1

tan(α- π 6 )

=-

1

α

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正弦函數(shù)的圖象，突出考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于難題．