Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，
AB=BC=，BB₁=3，D為A₁C₁的中點，F(xiàn)在線段AA₁上．
（1）AF為何值時，CF⊥平面B₁DF？
（2）設(shè)AF=1，求平面B₁CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC=．
以B點為原點，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
因為AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=，
從而B（0，0，0），A，C，B₁（0，0，3），A₁，C₁，D，E．
所以，
設(shè)AF=x，則F（，0，x），.，所以．
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F．
由=2+x（x-3）=0，得x=1或x=2，
故當(dāng)AF=1或2時，CF⊥平面B₁DF．（5分）
（2）由（1）知平面ABC的法向量為n₁=（0，0，1）．
設(shè)平面B₁CF的法向量為n=（x，y，z），則由得
令z=1得，
所以平面B₁CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．
分析：本題適合建立空間坐標(biāo)系得用向量法解決這個立體幾何問題，建立空間坐標(biāo)系，給出有關(guān)點的坐標(biāo)，設(shè)出點F的坐標(biāo)，（I）由線面垂直轉(zhuǎn)化為線的方向向量與面的法向量垂直，利用二者內(nèi)積為零建立關(guān)于參數(shù)的方程參數(shù)．（II）求出兩平面的法向量，利用夾角公式求二面角的余弦值即可．
點評：考查用空間向量為工具解決立體幾何問題，此類題關(guān)鍵是找清楚線的方向向量、面的法向量以及這些向量內(nèi)積為0、共線等與立體幾何中線面、面面位置關(guān)系的對應(yīng)．