Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（$\frac{1}{2}$，0），點B為直線x=-$\frac{1}{2}$上的動點，點C是線段AB與y軸的交點，點M滿足$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{OC}$=0，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AB}$=0．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)點P是軌跡E上的動點，點R、N在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)確定|MB|=|MA|．根據(jù)拋物線的定義可知點M的軌跡為拋物線，根據(jù)焦點和準(zhǔn)線方程，則可得拋物線方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，則直線PR的方程可得，由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，把x₀，y₀代入化簡整理可得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，進(jìn)而可知b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據(jù)求根公式，可求得b-c，進(jìn)而可得△PRN的面積的表達(dá)式，根據(jù)均值不等式可知當(dāng)當(dāng)x₀=4時面積最小，進(jìn)而求得點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），則
∵點C是線段AB與y軸的交點，∴C是線段AB的中點，
∵$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AB}$=0，∴CM⊥AB，∴|MB|=|MA|．
∴動點M的軌跡E是以A為焦點，x=-$\frac{1}{2}$為準(zhǔn)線的拋物線
∴其方程為y²=2x；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，
即$\frac{|{y}_{0}-b+{x}_{0}b|}{\sqrt{（{y}_{0}-b）^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=1．
注意到x₀＞2，化簡上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，
根據(jù)求根公式，可得b-c=$\frac{\sqrt{4{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-8{x}_{0}}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$．
故△PRN的面積為S=$\frac{1}{2}$（b-c）x₀=（x₀-2）+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥2$\sqrt{（{x}_{0}-2）•\frac{4}{{x}_{0}-2}}$+4=8，
等號當(dāng)且僅當(dāng)x₀=4時成立．此時點P的坐標(biāo)為（4，2$\sqrt{2}$）或（4，-2$\sqrt{2}$）．
綜上所述，當(dāng)點P的坐標(biāo)為（4，2$\sqrt{2}$）或（4，-2$\sqrt{2}$）時，△PRN的面積取最小值8．

點評 本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的關(guān)系．直線與圓錐曲線的問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點，如直線被圓錐曲線截得的弦長、弦中點問題，垂直問題，對稱問題．與圓錐曲線性質(zhì)有關(guān)的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向．