【題目】如圖,正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為
,側(cè)棱長(zhǎng)為1,求:
(1)直線與直線
所成角的余弦值;
(2)平面與平面
所成二面角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)以 {,
,
} 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,利用向量法能求出直線A1C與直線AD1所成角的余弦值;
(2)求出平面D1AC的一個(gè)法向量和平面ABB1A1的一個(gè)法向量,利用向量法能求出平面D1AC與平面ABB1A1所成二面角的正弦值.
(1)如圖,正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為
,側(cè)棱長(zhǎng)為1,
故以 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系
.
則,
,
,
,
.
(1)因?yàn)?
,
,
所以,
,
,
從而.
又異面直線所成的角的范圍是,
所以直線與直線
所成角的余弦值為
.
(2),
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則從而
即
取,可得
,
,即
.
在正四棱柱中,
平面
,
又,
所以為平面
的一個(gè)法向量.
因?yàn)?/span>,且
,
,
所以.
因此平面與平面
所成二面角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在橢圓
上,
為橢圓
的右焦點(diǎn),
分別為橢圓
的左,右兩個(gè)頂點(diǎn).若過(guò)點(diǎn)
且斜率不為0的直線
與橢圓
交于
兩點(diǎn),且線段
的斜率之積為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與
相交于點(diǎn)
,證明:
三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,其離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知是橢圓
上一點(diǎn),
,
為橢圓
的焦點(diǎn),且
,求點(diǎn)
到
軸的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng). 為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì). 按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的
,
的值;
(2)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)到市政廣場(chǎng)參加環(huán)保知識(shí)宣傳的志愿者活動(dòng),設(shè)表示所抽取的3名同學(xué)中得分在[80,90)的學(xué)生人數(shù),求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,其離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知是橢圓
上一點(diǎn),
,
為橢圓
的焦點(diǎn),且
,求點(diǎn)
到
軸的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓
經(jīng)過(guò)拋物線
與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn).
(1)求圓的方程;
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線
與圓
相交于
,
兩點(diǎn),若圓
在
,
兩點(diǎn)處的切線互相垂直,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,
,
分別為橢圓
的左、右焦點(diǎn).動(dòng)直線
過(guò)點(diǎn)
,且與橢圓
相交于
,
兩點(diǎn)(直線
與
軸不重合).
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為
,求點(diǎn)
坐標(biāo);
(2)點(diǎn),設(shè)直線
,
的斜率分別為
,
,求證:
;
(3)求面積最大時(shí)的直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線
相切,求t的取值范圍__________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中,點(diǎn)D,E,G分別是邊AB,AC,BC的中點(diǎn),連接DE,連接AG交DE于點(diǎn)現(xiàn)將
沿DE折疊至
的位置,使得平面
平面BCED,連接A1G,EG.
證明:DE∥平面A1BC
求點(diǎn)B到平面A1EG的距離.
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