Question

17．已知實(shí)數(shù)a，b滿足-2≤a≤2，-2≤b≤2，則函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ax²+bx-1有三個(gè)單調(diào)區(qū)間的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 關(guān)鍵是要找出函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ax²+bx-1有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，就是函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，求出對應(yīng)的可行域面積的大小和實(shí)數(shù)a，b滿足-2≤a≤2，-2≤b≤2對應(yīng)的圖形面積的大小．然后求解概率．

解答 解：∵函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ax²+bx-1有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，就是函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，∴y′=x²-$\sqrt{2}$ax+b，存在2個(gè)零點(diǎn)，
即x²-$\sqrt{2}$ax+b=0有2個(gè)實(shí)數(shù)解，其充要條件是△=2a²-4b＞0．
即 a²＞2b．
如圖所示，區(qū)域-2≤a≤2，-2≤b≤2的面積（圖中正方形所示）為4
而區(qū)域a²≥b，
在條件-2≤a≤2，-2≤b≤2下的面積（圖中陰影所示）為：
8+2∫₀²（$\frac{1}{2}$）a²da=8+2×（$\frac{1}{6}{a}^{3}$）|₀²=$\frac{32}{3}$．
所求概率為：$\frac{\frac{32}{3}}{16}$=$\frac{2}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的極值的求法，幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、含面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)公式求解．