Question

函數(shù)f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且當(dāng)f（x₁）=f（x₂）時，總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單函數(shù)；
②若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B為單函數(shù)，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；
④函數(shù)f（x）在A上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中為真命題的是    ．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)單函數(shù)的定義f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，可知函數(shù)f（x）則對于任意b∈B，它至多有一個原象，而①f（-1）=f（1），顯然-1≠1，可知它不是單函數(shù)，②③④都是，可得結(jié)果．
解答：解：∵若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)
①函數(shù)f（x）=x²不是單函數(shù)，∵f（-1）=f（1），顯然-1≠1，
∴函數(shù)f（x）=x²（x∈R）不是單函數(shù)；
②∵f（x）為單函數(shù)，且x₁≠x₂，
若f（x₁）=f（x₂），則x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾
∴②正確；
③若f：A→B為單函數(shù)，則任意的a∈A，則f（a）∈B，當(dāng)f（a）=b時，b在A中有唯一的原像，當(dāng)f（a）≠b時，b在集合A中沒有原像，則對于任意b∈B，它至多有一個，③正確
④∵函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，
∴f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，即④正確；
故答案為：②③④．
點評：此題以新定義為載體，主要考查了利用新知識分析解決問題的能力，以及知識方法的遷移能力．