Question

16．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosa\\ y=2sina\end{array}\right.$（a為參數(shù)）．直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（$θ-\frac{π}{6}$）=2．
（1）分別求出曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P在曲線C上，且點(diǎn)P到直線1的距離為1．求滿足這樣條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由sin²α+cos²α=1，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C是圓心C（0，0），半徑r=2的圓，求出圓心C（0，0）到直線l的距離得到直線l與圓C相切，由此能求出直線l與圓C相切得滿足這樣條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosa}\\{y=2sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)）．
∴由sin²α+cos²α=1，
得到曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4．
∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（$θ-\frac{π}{6}$）=2，
∴$ρcosθcos\frac{π}{6}+ρsinθsin\frac{π}{6}$=2，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ+\frac{1}{2}ρsinθ=2$，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x+y-4=0$．
（2）∵曲線C：x²+y²=4是圓心C（0，0），半徑r=2的圓．
圓心C（0，0）到直線l的距離d=$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{3+1}}$=2=r，
∴直線l與圓C相切，
∵點(diǎn)P在曲線C上，且點(diǎn)P到直線1的距離為1．
∴由直線l與圓C相切得滿足這樣條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線和直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程互化公式的合理運(yùn)用，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．