Question

4．如圖，射線OA，OB與x軸的正方向分別成45°與30°的角，過點P（1，0）的直線與兩射線分別交于C，D，若線段CD的中點恰好在直線y=$\frac{1}{2}$x上，求CD所在直線的方程．

Answer 1

分析 由題意直線AB的斜率不為0，因為過點P，故可設(shè)為：x=my+1，分別與射線OA、OB聯(lián)立，求出C、D點坐標(biāo)，求出中點坐標(biāo)，因為CD的中點在直線y=$\frac{1}{2}$x上，代入求解即可．

解答 解：在直角坐標(biāo)系中，射線OA、OB分別與x軸成45°角和30°角，可得射線OA：x-y=0（x≥0），OB：$\sqrt{3}$x+3y=0（x≥0），
由題意直線AB的斜率不為0，因為過點P，故可設(shè)為：x=my+1，
分別與射線OA、OB聯(lián)立，得C（$\frac{1}{1-m}$，$\frac{1}{1-m}$），D（$\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}$，-$\frac{1}{m+\sqrt{3}}$）
可知CD的中點坐標(biāo)為：（$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1-m}$+$\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}$），$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1-m}$-$\frac{1}{m+\sqrt{3}}$）），
因為AB的中點在直線y=$\frac{1}{2}$x上，所以$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1-m}$-$\frac{1}{m+\sqrt{3}}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1-m}$+$\frac{\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}}$），
解得：m=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，所以直線CD的方程為3x-（3-$\sqrt{3}$）y-3=0

點評 本題考查兩條直線的交點坐標(biāo)、中點坐標(biāo)公式及求直線方程問題，考查運算能力．