Question

18．已知函數(shù)y=f（x）滿足f（2x）=2f（x），當1≤x≤2時，f（x）=$\frac{1}{2}$-|x-$\frac{3}{2}$|，當x∈[1，2ⁿ]，n∈N^*時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積記為S_n，則S₁=$\frac{1}{4}$，S_n=$\frac{1}{12}$（4ⁿ-1）．

Answer 1

分析 結合函數(shù)的性質(zhì)作函數(shù)y=f（x）的部分圖象，將[1，2ⁿ]分割成[1，2]，[2，4]，[4，8]，[8，16]，…，[2^n-1，2ⁿ]個部分，從而可得各部分的面積，從而求和即可．

解答 解：∵f（2x）=2f（x），當1≤x≤2時，f（x）=$\frac{1}{2}$-|x-$\frac{3}{2}$|，
∴作函數(shù)y=f（x）的部分圖象如下圖，
，
將[1，2ⁿ]分割成[1，2]，[2，4]，[4，8]，[8，16]，…，[2^n-1，2ⁿ]個部分，
設在各區(qū)間內(nèi)的面積依次為a₁，a₂，a₃，…，a_n；
則結合圖象可得，a₁=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，a_n=4a_n-1，
故S₁=a₁=$\frac{1}{4}$，S_n=$\frac{\frac{1}{4}（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{1}{12}$（4ⁿ-1），
故答案為：$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{12}$（4ⁿ-1）．

點評 本題考查了分段函數(shù)與絕對值函數(shù)的應用及轉化思想與分類討論及數(shù)形結合的思想應用，同時考查了數(shù)列的應用，屬于中檔題．