Question

13．在△ABC中，tanA+tanC=3tanB，則tanB的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． [$\frac{4}{3}$，+∞）
• D． [1，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 把已知等式中tanB轉(zhuǎn)化為tan（A+C），展開兩角和的正切，求得tanAtanC=4，然后利用基本不等式求得tanB的取值范圍．

解答 解：由tanA+tanC=3tanB，得
tanA+tanC=-3tan（A+C）=$-3•\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$，
∵tanA+tanC≠0，
∴1-tanAtanC=-3，得tanAtanC=4，
∴tanA＞0，tanC＞0，
則tanB=$\frac{tanA+tanC}{3}$$≥\frac{2\sqrt{tanA•tanC}}{3}=\frac{2\sqrt{4}}{3}=\frac{4}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanC=2時(shí)上式等號(hào)成立．
∴tanB的取值范圍是[$\frac{4}{3}$，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正切，考查了利用基本不等式求最值，屬中檔題．