Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n+S_n=$\frac{1}{2}$（n²+3n），數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，M為正整數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}的前2015項的和T₂₀₁₅≥M，求M的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$，求得a₁=1，a₂=2，構造數(shù)列的方法可得a_n-n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-（n-1）]，即可得到所求通項；
（2）化簡b_n=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+（n+1）^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}}$=$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，由裂項相消求和，可得前2015項的和T₂₀₁₅=2016-$\frac{1}{2016}$，即可得到所求值．

解答 解：（1）a_n+S_n=$\frac{1}{2}$（n²+3n），①可得a₁+S₁=2a₁=2，
解得a₁=1，又a₂+S₂=$\frac{1}{2}$（2²+6）=5，解得a₂=2，
當n＞1時，a_n-1+S_n-1=$\frac{1}{2}$[（n-1）²+3（n-1）]，②
①-②，可得2a_n-a_n-1=n+1，
變形為a_n-n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-（n-1）]，
由于a₁-1=a₂-2=0，則a_n-n=0，
故數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n；
（2）b_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+（n+1）^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}}$=$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前2015項的和T₂₀₁₅=（1+1-$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（1+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=2016-$\frac{1}{2016}$，
故不超過T₂₀₁₅的最大整數(shù)M為2015．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$，以及構造數(shù)列的思想方法，考查裂項相消求和的思想，考查運算能力，屬于中檔題．