Question

18．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$為單位向量，若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$方向上的投影為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|得出$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，再由$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$是單位向量得出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為45°，由投影的定義寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果即可．

解答 解：∵$\overrightarrow a，\overrightarrow b$為單位向量，且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}$，
化簡(jiǎn)得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為45°，
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$方向上的投影為
|$\overrightarrow{a}$|cos45°=1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與投影的定義和應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．