Question

已知0＜ω＜2，設(shè)f（x）=cos²ωx+

3

sinωxcosωx
（1）若f（x）的周期為2π，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸為x=

π

6

，求ω的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和的正弦公式將函數(shù)解析式化為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，再利用周期計(jì)算公式，求得ω值，最后通過解不等式求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用函數(shù)y=sinx的對稱軸方程為x=kπ+

π

2

，將f（x）的對稱軸代入內(nèi)層函數(shù)得ω的值，再由已知范圍，確定ω的值

解答：解：（1）f（x）=cos²ωx+

3

sinωxcosωx
=

1

2

（1+cos2ωx）+

3

2

sin2ωx
=

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

由T=

2π

2ω

=2π，得ω=

1

2

∴f（x）=sin（x+

π

6

）+

1

2

由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，k∈Z
（2）∵x=

π

6

是函數(shù)圖象的一條對稱軸，
∴2ω×

π

6

+

π

6

=kπ+

π

2

，即ω=3k+1，k∈Z
又0＜ω＜2，
∴當(dāng)k=0時(shí)，ω=1即為所求

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角變換公式在化簡三角函數(shù)式中的應(yīng)用，y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的周期性和單調(diào)性、對稱性，整體代入的思想方法