Question

19．已知四棱錐P-ABCD中，面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，$PA=AD=\frac{1}{2}AB$，M為PB的中點(diǎn)，N、S分別為AB、CD上的點(diǎn)，且$AN=CS=\frac{1}{4}AB$．
（1）證明：DM⊥SN；
（2）求SN與平面DMN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點(diǎn)E，連接EM、ED，推導(dǎo)出EM⊥SN，ES⊥ED，由此能證明SN⊥DM．
解：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用同量法能求出SN與平面DMN所成角的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，取AB中點(diǎn)E，連接EM、ED，…（1分）
∵M(jìn)為PB中點(diǎn)，所以EM∥PA…（2分）
又PA⊥面ABCD，SN?面ABCD，
∴PA⊥SN，所以EM⊥SN…（3分）
∵$AD=\frac{1}{2}AB=AE$，所以∠AED=45°…（4分）
過S作SF⊥AB交AB于F則NF=FS，∴∠FNS=45°
∴ES⊥ED…（5分）又ED∩ME=E，SN⊥平面EDM
∴SN⊥DM…（6分）
解：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），D（0，1，0），$M（1，0，\frac{1}{2}）$，$N（\frac{1}{2}，0，0）$，$S（\frac{3}{2}，1，0）$…（7分）
$\overrightarrow{DM}=（1，-1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{SN}=（-1，-1，0）$，$\overrightarrow{DN}=（\frac{1}{2}，-1，0）$，
設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，z）$為平面DMN的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{DM}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{DN}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}x-y+\frac{1}{2}z=0\\ \frac{1}{2}x-y=0\end{array}\right.$…（8分）
取x=2，得$\overrightarrow n=（2，1，-2）$…（9分）
設(shè)SN與平面DMN所成角為α
∴$sinα=|cos＜\overrightarrow{SN}，\overrightarrow n＞|=\frac{|-2-1-0|}{{\sqrt{2}•\sqrt{9}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（10分）
∴$cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（11分）
∴SN與平面DMN所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直、線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．