Question

14．設f（x）=x ln x-ax²+（2a-1）x，a∈R．
（Ⅰ）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求 g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當$\frac{1}{2}$＜a≤1時，證明：f（x）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）=lnx-ax+2a-1，的導數(shù)g′（x），分a≤0，a＞求單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）只要證明?x∈（0，+∞），f（x）≤0即可，由（Ⅰ）知g（x）_max=g（$\frac{1}{a}$）=2a-2-lna．
證明h（a）=2a-2-lna．a(chǎn)在（$\frac{1}{2}，1]$，h（a）≤0即可

解答 解：（Ⅰ）由g（x）=lnx-ax+2a-1，可得g′（x）=$\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$，
當a≤0時，x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞0時，x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，g′（x）＞0，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），
x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）證明：只要證明?x∈（0，+∞），f（x）≤0即可．
由（Ⅰ）知g（x）在x=$\frac{1}{a}$取得最大值，g（x）_max=g（$\frac{1}{a}$）=2a-2-lna．
h（a）=2a-2-lna．a(chǎn)$∈（\frac{1}{2}，1]$，h′（a）=$\frac{2a-1}{a}$＞0，
則h（a）在（$\frac{1}{2}，1]$上單調(diào)遞增，h（a）≤h（1）=0
∴當$\frac{1}{2}$＜a≤1時，g（x）≤0，即f（x）≤0．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用，函數(shù)恒等式的證明，屬于中檔題．