Question

對于數列{u_n}若存在常數M＞0，對任意的n∈N*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M，則稱數列{u_n}為B-數列。
（1）首項為1，公比為q（|q|＜1）的等比數列是否為B-數列？請說明理由；
請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題，判斷所給命題的真假，并證明你的結論；
（2）設S_n是數列{x_n}的前n項和，給出下列兩組論斷；
A組：①數列{x_n}是B-數列②數列{x_n}不是B-數列
B組：③數列{S_n}是B-數列④數列{S_n}不是B-數列
請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結論；
（3）若數列{a_n}，{b_n}都是B-數列，證明：數列{a_nb_n}也是B-數列。

Answer 1

解：（1）設滿足題設的等比數列為{a_n}，則，
于是，
因此，
因為|q|＜1，
所以，，
即，
故首項為1，公比為q（|q|＜1）的等比數列是B-數列。
（2）命題1：若數列{x_n}是B-數列，則數列{S_n}是B-數列，此命題為假命題。
事實上，設，
易知數列{x_n}是B-數列，但，
，
由n的任意性知，數列{S_n}是B-數列此命題為假命題。
命題2：若數列{S_n}是B-數列，則數列{x_n}是B-數列，此命題為真命題，
事實上，因為數列{S_n}是B-數列，
所以存在正數M，對任意的n∈N*，
有，
即，
于是
，
所以數列{x_n}是B-數列。
（3）若數列{a_n}{b_n}是B-數列，則存在正數，對任意的n∈N*，
有，
，
注意到
，
同理：，
記，則有

，
因此
，
故數列{a_nb_n}是B-數列。