Question

4．已知向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$，0＜β＜α＜π．
（1）若$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\sqrt{2}$，求$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角θ的值；
（2）設$\overrightarrow c=（0，1）$，若$\overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow c$，求α，β的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的坐標減法運算求得$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，再由$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\sqrt{2}$，兩邊平方后整理可得cosαcosβ+sinαsinβ=0，即$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，從而得到$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為90°；
（2）由向量相等的條件可得$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=0①}\\{sinα+sinβ=1②}\end{array}\right.$，結合平方關系及角的范圍即可求得α，β的值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow a=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow b=（cosβ，sinβ）$，
得$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）$，
由$|\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}={（cosα-cosβ）^2}+{（sinα-sinβ）^2}$=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，
得：cosαcosβ+sinαsinβ=0，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{2}$；
（2）由$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1）$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=0①}\\{sinα+sinβ=1②}\end{array}\right.$，①²+②²得：$cos（α-β）=-\frac{1}{2}$，
∵0＜β＜α＜π，
∴0＜α-β＜π，
∴$α-β=\frac{2π}{3}$，$α=\frac{2π}{3}+β$，
代入②得：$sin（\frac{2π}{3}+β）+sinβ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosβ+\frac{1}{2}sinβ=sin（\frac{π}{3}+β）=1$，
∵$\frac{π}{3}＜\frac{π}{3}+β＜\frac{4π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}+β=\frac{π}{2}$，得β=$\frac{π}{6}$，$α=\frac{2π}{3}+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$．
綜上所述，$α=\frac{5π}{6}$，$β=\frac{π}{6}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量相等的條件，訓練了三角函數(shù)的化簡求值，是中檔題．